注意事項

寫作業要點

  • 繳交期限: 2021/06/04(五), 24:00前上傳完畢。
  • 於課程網站(http://www.hmwu.idv.tw)下載題目卷。
  • 可參考課本、上課講義(包含電子檔)及其它資料。
  • 自己親手做，儘量不要與別人(或同學)討論，不可參考同學的答案，不可抄襲。
  • 程式設計題，若程式碼直接複製(或照抄)講義上的以不給分為原則。
  • 有問題者，請FB群組或私訊問助教或老師。
  • 程式直接寫在本Rmd檔。經knit編譯，產生.html、.pdf、.doc檔，需印出R程式碼及執行結果。
  • 不按照規定作答者，酌量扣分。

上傳答題檔案

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  • 上傳兩次(含)以上 、格式不合等等酌量扣分。
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  • 有問題者，請FB私訊老師。

其它事項

  • 若有題目不會寫、或只會寫一半、或結果是有錯的，導致knit無法編譯產生文件， 則可以「不執行有錯的程式碼」，但必需列印此段程式碼。助教會依照狀況部份給分。

  • 此份作業，助教以pdf檔批改為準。Rmd則是做為比對之用(比對同學們的Rmd是否相似)。

  • 總分100分，由助教決定每題配分。全部改完會上傳，答案卷同學們可自由下載。



1 腎臟移植存活機率。(題目摘自「統計學的世界」一書)

由腎臟移植的病人資料可知: 撐過移植手術的占90%，另外10%會死亡。 在手術後存活的人中有60%移植成功，另外的40%還是得回去洗腎。 五年存活率對於換了腎的人來說是70%，對於回去洗腎的人來說是50%。 請計算病人能活過五年的機率。

解:

本題之機率模型如下圖。 令 \(X_1, X_2, X_3\) 代表各階段狀況的二元隨機變數: \(X_i=0, X_i=1, i=1, 2, 3\)。

令\(P(X_1=1)=0.9\) \((P(X_1=0)=0.1)\)為階段1病人手術後之存活(死亡)機率。

令\(P(X_2=1|X_1=1)=0.6\) \((P(X_2=0|X_1=1)=0.4)\)為在階段1病人手術後存活狀況下，病人於階段2之移植成功(失敗後回去洗腎)的條件機率。

令\(P(X_3=1|X_2=1, X_1=1)=0.7\) \((P(X_3=1|X_2=0, X_1=1)=0.4)\) 為在階段2病人移植成功(失敗後回去洗腎)之下， 病人於階段3之五年存活的條件機率。

則病人能活過五年的機率為\(P(X_3=1)= P(X_1=1)P(X_2=1 | X_1=1)P(X_3=1 | X_2=1, X_1=1)\) \(+ P(X_1=1)P(X_2=0 | X_1=1)P(X_3=1 | X_2=0, X_1=1)\) \(= 0.9 * 0.6 * 0.7 + 0.9 * 0.4 *0.5 = 0.558.\)

腎臟移植存活機率模型。

腎臟移植存活機率模型。

1.1 以R計算理論機率

將上述過程一般化: 腎臟移植的病人資料: 撐過移植手術的占\(p\)，另外\((1-p)\)會死亡。 在手術後存活的人中有\(q\)移植成功，另外的\((1-q)\)還是得回去洗腎。 五年存活率對於換了腎的人來說是\(s\)，對於回去洗腎的人來說是\(t\)。 計算能活過五年的機率。(其中\(0<p, q, s, t <1\), )。 請寫一R函式，輸入為\((p, q, s, t)\)，輸出為腎臟移植病人活過五年的(理論)機率。 以\((p=0.9, q=0.6, s=0.7, t=0.5)\) 試算機率。

# your source code here

1.2 以R模擬算機率

將上述的過程，以模擬抽樣的方法，計算病人能活過五年的機率。 其步驟如下:

  • 第l步：機率模型如上圖。
  • 第2步：對每個結果分配數字:
    • 階段1: 0 = 死亡; l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 存活。
    • 階段2: 0, l, 2, 3, 4, 5 = 移植成功; 6, 7, 8, 9 = 仍需洗腎。
    • 階段3: 換了腎: 0, l, 2, 3, 4, 5, 6 = 存活五年; 7, 8, 9 = 未能存活五年。
    • 階段3: 洗腎: 0, l, 2, 3, 4= 存活五年; 5, 6, 7, 8, 9 = 未能存活五年。 (階段3的數字分配，和階段2的結果有關。所以二者間不獨立。)
  • 例如: 在以下的4次模擬中，有2次存活超過5年, 則五年存活機率是0.5。
4次模擬狀況。

4次模擬狀況。

請寫一R函式(命名為kidney_surgery_survival_prob)，經1000次模擬，計算腎臟移植病人活過五年機率。

# your source code here



2 格式 (額外加分)

有成功將「學號-姓名-R-HW5.Rmd」編譯出正確的「學號-姓名-R-HW7.html」、 「學號-姓名-R-HW7.pdf」及「學號-姓名-R-HW7.doc」，並上傳。 以下數學式是測試MikTeX/LaTeX，請勿刪。這是常態分佈的機率密度函數:

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]