注意事項

考試期間

遠距考試，沒有人監考，請同學自愛、堂堂正正做人，勿作弊。
於課程網站(http://www.hmwu.idv.tw)下載題目卷。
可參考課本、上課講義(包含電子檔)及其它資料，但不能與別人討論。
可使用計算機、自己的筆記型電腦及平板電腦，不可使用手機。
全程可上網查詢，但不能用通訊軟體FB/LINE等討論。
程式設計題，若程式碼直接複製(或照抄)講義上的以不給分為原則。
有問題者，請舉手發問。勿與同學交談
程式直接寫在本Rmd檔。經knit編譯，產生.html檔，需印出R程式碼及執行結果。
不按照規定作答者，酌量扣分。
程式請隨時存檔，避免突然意外發生，程式檔不見。

上傳答題檔案

於教師網站首頁登入[作業考試上傳區]，帳號: r1092。密碼: xxx。
選取「正確的」資料夾上傳，若傳錯，請最終要上傳一份正確的的答題檔案。
請上傳「學號-姓名-R-exam2.Rmd」、「學號-姓名-R-exam2.html」。 (學號及姓名，改成自己)
若上傳檔案格式錯誤，內容亂碼，空檔等等問題。請自行負責。
若要重覆上傳(第2次以上)，請在檔名最後加「-2」、「-3」，例如: 「學號-姓名-R-exam2-2.Rmd」等等。
上傳兩次(含)以上、格式不合等等酌量扣分。
如果上傳網站出現「You can modify the html file, but please keep the link www.wftpserver.com at least.」，請將滑鼠移至「網址列」後，按「Enter」即可。若再不行，請換其它瀏覽器(IE/Edge/Firefox/Chrome)。
有問題者，請FB私訊老師。

其它事項

若有題目不會寫、或只會寫一半、或結果是有錯的，導致knit無法編譯產生文件，則可以「不執行有錯的程式碼」，但必需列印此段程式碼。助教會依照狀況部份給分。
有任何問題、意見、建議、甚至抱怨不滿，請直接與老師連絡溝通(FB/Email)。
總分: 100分 + 10分。

1 Student’s \(t\)-distribution (40%)

Student’s \(t\)-distribution has the probability density function (pdf) given by \[ p(x)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}}, \] where \(\nu\) is the number of degrees of freedom and \(\Gamma\) is the gamma function. 試寫一R函數(命名為t_pdf，輸入為\(x\)、\(\nu\)，輸出為\(p(x)\))，計算\(t\)分配之機率密度函數值，並利用此函數畫出下圖(注意: \(x-\), \(y-\)軸標號、圖例說明(legend)、線條顏色)。 (註: \(\Gamma\) 函數在R是什麼指令，請自己查。\(\nu = + \infty\)以\(\nu = 10\)代入。畫圖以R base graphics套件或ggplot2皆可。) (圖片來源: https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution)

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2 卜瓦松累積機率分佈函數 (30%)

若隨機變數\(Y\)服從卜瓦松分配\((X\sim Poisson(\lambda))\)，其累積機率分佈函數為: \[ F_X(x)=P(X \leq x) =\sum_{k=0}^x \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}。 \] 試寫一R函數(命名為poisson_cdf，輸入為\(x\)、\(\lambda\)，輸出為\(F_X(x)\))，計算卜瓦松分配之累積機率分佈函數值，並利用此函數印出下表(印出紅色框部份的表格即可)。

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3 Poisson 極限定理(Poisson Limit Theorem) (30%)

給定常數\(\lambda\)，且 \(X_n \sim Binomial\left(n, \frac{\lambda}{n}\right)\), 則 \[ P(X_n=x) = {C^n_x} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \longrightarrow \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\quad as \ n \rightarrow \infty \] 亦即，Poisson分配是二項式分配\(Binomial \left(n, \frac{\lambda}{n}\right)\)的一個極限分配。

若\(n=30, \lambda=2.4\)，利用R的內鍵指令(二項式分佈機率質量函數及卜瓦松分佈機率質量函數), 列出下表(data.frame)來驗証Poisson極限定理, 其中最一欄位(diff)為兩者差之絕對值。

    x binomial.pmf poisson.pmf         diff
1   0       0.0820      0.0907 0.0087517497
2   1       0.2138      0.2177 0.0038982090
3   2       0.2696      0.2613 0.0083375766
4   3       0.2188      0.2090 0.0097959196
5   4       0.1284      0.1254 0.0030235072
6   5       0.0581      0.0602 0.0021224767
7   6       0.0210      0.0241 0.0030372714
8   7       0.0063      0.0083 0.0019823213
9   8       0.0016      0.0025 0.0009083534
10  9       0.0003      0.0007 0.0003270817
11 10       0.0001      0.0002 0.0000976313

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4 格式(額外加分) (10%)

有成功編譯出正確的「學號-姓名-R-exam1.pdf」及「學號-姓名-R-exam1.doc」，並上傳。以下數學式是測試MikTeX/LaTeX，請勿刪。這是常態分佈的機率密度函數: \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

109-2 電腦概論與程式設計

小考(2)

學號: 姓名:

2021/05/25